Теория вероятности игры в кости
Игры в кости относятся к самым древним играм в мире. В них играют с начала развития цивилизации, а первые упоминания появились свыше 5000 лет назад. Погибали цивилизации, но азарт, рожденный играми в кости оставался.
На первый взгляд игра в кости предельно проста. Ход игры определяет бросок кости и вы можете только надеяться, что выпадет нужное число.
Однако в некоторых играх в кости возможно стратегическое и тактическое вмешательство:
- вовремя прекратить бросание костей;
- правильно разместить ставки;
- использовать элементы блефа при объявлении комбинаций и т.п.
Но, в большей степени, все зависит от результата броска и исход игры зависит не только от вашей удачи, но и от вероятности выпадения тех или иных комбинаций.
Большинство игроков думают, что у участников всегда одинаковые шансы на выигрыш.
Однако это большое заблуждение! Часто, у определенных комбинаций большие шансы на успех по сравнению с другими. Особенно это важно, когда ходы делаются по очереди и вам надо превысить ход предыдущего игрока.
Если вам известно, у каких комбинаций больше шансы на успех, вы сможете добиться больших выигрышей, особенно если вы играете на деньги. Даже если вы играете не на деньги, то у вас появится возможность выиграть игру.
Вы будете играть более успешно и получать большее удовольствие, если овладеете математическими правилами, лежащими в основе игры в кости.
Поскольку кость является простым игровым инструментом, то теория игры также довольно проста и доступна и сводится к несложному расчету вероятности выпадения тех или иных комбинаций, чем успешно пользуются серьезные игроки.
Элементарные события при броске монеты.
Давайте расмотрим монету, которая вляется более простым средством игры по сравнению с костью. По большому счету монета - это та же кость, которая имеет не 6, а только 2 стороны - "орел" и "решку". Если вы бросите монету, то у вас обязательно выпадет один из двух результатов. Мы не будем рассматривать случай, что монета или кость могут встать на ребро.
Следовательно имеется 50% вероятность выпадения "орла" и 50% выпадения "решки", каждое из которых является одним из двух элементарных событий, если вы бросаете монету.
Этот факт в математике выражается как 1/2 (одно благоприятное событие из двух вероятных событий).
Вероятности из двух элементарных событий "орел" или "решка" составляют в сумме 1 или 100% (1/2 +1/2 = 2/2 = 1)
Элементарные события при броске кости.
Теория броска кости аналогична теории броска монеты. Единственная разница состоит в том, что кость имеет 6 граней, пронумерованных от 1 до 6. Каждое из возможных чисел представляет собой одно из шести вероятных событий. В соответствии с этим вероятность выпадения определенного числа составляет 1/6, т.е. 16,67%. А вероятности для 6 элементарных событий составляют 100% ( 1/6 + 1/6 +1/6 + 1/6 +1/6 + 1/6 = 6/6 = 1).
Теперь дадим определение понятию "элементарные события". Любые элементарные события одновременно обладают следующими свойствами:
- все элементарные события вероятны в равной степени;
- случайный результат броска всегда дает одно из элементарных событий;
- сумма вероятностей всех элементарных событий всегда дает 1 или 100%.
Для монеты элементарные события составляют - "орел", "решка". Для кости элементарные события составляют - 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Однако при одновременном броске нескольких монет или костей, элементарные события суммируются и переходят в разряд комбинированных событий, для которых вероятность выпадения комбинаций считается уже по другому.
Комбинированные события.
Любое комбинированное событие составляет комбинацию из элементарных событий в обшем количестве вероятных событий.
Вероятность комбинированного события рассчитывается как сумма благоприятных элементарных событий деленная на общее число вероятных событий.
Поясним на двух монетах. Для простоты обозначим "орел" - 0, а "решку" - 1.
При бросании двух монет может произойти:
- 2 комбинированных события (два одинаковых результата или два разных результата)
- 4 элементарных события: 0-0, 0-1, 1-0, 1-1
Следовательно вероятность выпадения комбинированных событий составит:
- двух одинаковых результатов (0-0, 1-1) - 1/2
- двух разных результатов (1-0, 0-1) - 1/2
А для элементарных событий вероятность следующая:
- две "решки" - 1/4;
- два "орла" - 1/4;
- "орел"-"решка" - 1/4;
- "решка"-"орел" - 1/4.
Аналогичный порядок расчета проводится и с костями.
Пример: Какова вероятность, что при одном броске кости мы не получим число 3? Следовательно, нас интересует вероятность выпадения чисел 1, 2, 4, 5 или 6. Таким образом, мы имеем 5 благоприятных событий из 6 вероятных элементарных событий. Такая вероятность составляет 5/6. Вероятности 6-ти элементарных событий составляют 1 (единицу), а вероятность выбросить 3 составляет 1/6.
Элементарные события для двух костей.
Каждое комбинированное событие при броске двух костей является суммой двух элементарных событий. Например, выпадение суммы 3 описывается двумя элементарными событиями 1-2 или 2-1. Таких комбинаций две.
В итоге, каждое число первой кости может сочетаться с числом, выпавшим на второй кости. Так что при бросании двух костей мы получаем 36 (6 х 6) элементарных событий.
Как правило при игре в кости нас интересует не оба числа отдельных костей, а только их сумма, которая будет находиться между 2 и 12.
Пример: насколько высока вероятность получить сумму 3, если бросить 2 кости? Следовательно нас интересует вероятность событий 1-2 и 2-1. Существует 2 благоприятных события из 36, значит вероятность получить в сумме 3 равна 2/36 или 5,55%.
Пример: насколько высока вероятность получить сумму 6, если бросить 2 кости? Следовательно, нас интересует вероятность событий 1-6, 6-1, 2-5, 5-2, 3-4 или 4-3. Существует 6 благоприятных событий из 36, значит, вероятность получить в сумме 6 равна 6/36 или 16,67%.
Поэтому следует совершенно ясно представлять себе, что различные суммы при бросании обеих костей имеют различные вероятности.
На одной кости мы получаем числа от 1 до 6. Эти числа представляют собой элементарные события с одинаковой вероятностью. Некоторые игроки делают из этого ошибочный вывод , что при бросании двух костей суммы от 2 до 12 также являются элементарными событиями с одинаковыми вероятностями. Однако это далеко не так!
Пример: какова вероятность дубля, если бросить 2 кости? Следовательно, нас интересует вероятность событий 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5 или 6-6. Существует 6 благоприятных событий из 36, значит, вероятность получить в сумме 6 равна 6/36 или 16,67%.
Пример: какова вероятность выпадения не менее одной 6, если бросить 2 кости? Следовательно, нас интересует вероятность событий 1-6, 2-6, 3-6, 4-6, 5-6, 6-6, 6-5, 6-4, 6-3, 6-2, 6-1. Существует 11 благоприятных событий из 36, значит, вероятность получить в сумме 6 равна 11/36 или 30,56%.
Вышеприведенный пример еще раз подчеркивает, насколько важно при всех рассуждения исходить из разницы между элементарными событиями и комбинированными событиями (суммой элементарных событий). Старайтесь не принимать поспешных решений, часто это кончается плохо. Вероятность получить не менее одной 6 при бросании одной кости составляет 1/6. Не следует ли из этого, что при броске двух костей вероятность складывается (удваивается) и составит 2/6 или 1/3, или 33,33%?
Нет, это совсем не так! Вероятности не складываются. В этом и заключается ошибка.
Три кости
Также как и в ситуации с двумя костями, элементарные события при бросании трех костей составляют комбинацию из трех чисел. Поскольку каждое вероятное число первой кости может сочетаться с любым вероятным числом второй кости и с любым вероятным числом третьей кости, то при бросании трех костей существует 216 (6 х 6 х 6) элементарных событий.
Пример: какова вероятность выпадения суммы 4, если кинуть три кости? Следовательно нас интересует вероятность выпадения 1-1-2, 1-2-1 или 2-1-1, так как это три единственных вероятности получить сумму 4. Таким образом, мы имеем три благоприятных события из 216 элементарных событий. Такая вероятность составляет 4/216 или 1/72, или 1,39%
Пример: какова вероятность, что выпадет одна 6, если кинуть три кости? Поскольку каждый бросок трех костей может содержать ни одной, одну, две или три шестерки, то из общего количества элементарных событий мы вычитаем события содержащие три, две и ни одной шестерки и получаем: 216 – 1 – 15 – 125 = 75. Таким образом мы имеем 75 благоприятных событий из 216 элементарных событий. Такая вероятность составляет 75/216 или 34,72%
Достаточно теории! Если слишком много заниматься расчетом вероятностей, можно потерять интерес к самой игре.
Однако если вы играете на деньги, то вам обязательно нужно знать свои шансы на выигрыш.
